<F+>
<T+1>
<mat. 5 s. cap. 5>
<92>
5. Nmeros quadrados, triangulares e outras seqncias

Os nmeros tm forma

Histria em quadrinhos:

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.               _
l    Professor pergunta:         _
l    o Voc j parou para pen-  _
l       sar que os nmeros tm    _
l       forma?                    _
l    Aluna fala:                 _
l    o O zero  gordinho.       _
l    Aluno fala:                 _
l    o O quatro parece uma ca-  _
l       deira de ponta cabea.    _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.               _
l    Professor fala:             _
l    o Mas no  disso que eu   _
l       estou falando...          _
l    o ... e sim da disposio   _
l       de um certo nmero de     _
l       pontos numa folha de      _
l       papel.                    _
l    Aluna pergunta:             _
l    o Como assim?              _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.               _
l    Professor fala:             _
l    o Experimente colocar 4   _
l       pontos num papel de modo  _
l       a parecer um quadrado.    _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<93>
<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 4.                _
l    Aluna fala:                  _
l    o Essa  fcil!             _
l    Aluno fala:                  _
l    o So 2 filas com 2       _
l       pontos em cada fila.       _
l    Outra aluna fala:            _
l    o  um quadrado 2 por 2.  _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 5.                _
l    Professor pergunta:          _
l    o E se forem 9 pontos?     _
l    Aluna fala:                  _
l    o So 3 filas com 3       _
l       pontos em cada fila.       _
l    Outra aluna fala:            _
l    o  um quadrado 3 por 3.  _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 6.                 _
l    Aluno pergunta:               _
l    o Quantos pontos so neces-  _
l       srios para obter um qua-   _
l       drado 4 por 4?            _
l    Aluna responde:               _
l    o 16 pontos.                 _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 7.            _
l    Aluna fala:              _
l    o E com 25 pontos eu   _
l       fao um quadrado 5    _
l       por 5.                _
h::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Nmeros como 1, 4, 9, 16, 25, ... so chamados _nmeros _quadrados 
ou _nmeros _quadrados _perfeitos.

<94>
<P>
Atividades
  1. Quantos pontos so necessrios para obter um quadrado:
  a) 6 por 6, isto , com 6 linhas e 6 colunas?
  b) 7 por 7?
  c) 8 por 8?

  2. Determine o valor:
  a) do 9 quadrado perfeito
  b) do 10 quadrado perfeito
  c) do 11 quadrado perfeito

Algumas propriedades dos nmeros quadrados

  Vamos explorar algumas propriedades curiosas dos nmeros 
quadrados.
  Para facilitar a visualizao, usaremos quadradinhos em vez de pontos.
  Observe a composio dos primeiros nmeros quadrados.
  1=1
  1+3=4
  4+5=9
  9+7=16
  16+9=25

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Na seqncia dos nmeros quadrados cada termo  a soma do termo 
anterior com um certo nmero mpar.

  1+3=4+5=9+7=16+9=25+11=...

  Aluna fala:
  -- Ah! ento o 6 nmero da seqncia de quadrados  36, dado por 
25+11.
  Professor fala:
  -- Sim, podemos observar isso na figura da pgina seguinte...

<95>
  36=1+3+5+7+9+11

<P>
<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figura: quadrados ilus-  o
  trando a conta.             o
eieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  -- ... ou na decomposio em rvore.

<F->
       36
      25+11
     16+9+11
    9+7+9+11
   4+5+7+9+11
  1+3+5+7+9+11
<F+>

  Professor fala:
  -- Um desafio!
  -- Qual o 20 nmero quadrado?

  Aluna fala:
  -- Agora ficou fcil! O primeiro mpar  o 1 e o vigsimo  o 39.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l  1+3+5+'''+37+39=400          _
l  Ento, o 20 nmero quadrado    _
l  20`*20=400                       _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Outra aluna fala:
  -- Basta adicionar os 20 primeiros nmeros mpares.

Atividades
  3. Determine o valor do 14 nmero quadrado.

  4. Calcule a soma dos 14 primeiros nmeros mpares.

  5. Calcule a soma dos 30 primeiros nmeros mpares.

  6. Encontre o valor da seguinte adio:
  1+3+5+'''+197+199

  7.  possvel descobrir a soma dos 1.000 primeiros nmeros mpares 
sem ter que adicion-los?

  8. Como voc faria para obter a soma dos _n primeiros nmeros 
mpares sem adicion-los?

<96>
Nmeros triangulares

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Foto: latas de azeite empi-    o
  lhadas em forma de tringulo.     o
  No primeiro andar h 5 latas;   o
  no segundo 4; no terceiro 3;    o
  no quarto 2; no quinto 1.       o
eieieieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Professor fala:             _
l    o Quantas latas h numa    _
l       pilha como essa e que     _
l       tenha 10 andares?        _
l    Aluno fala:                 _
l    o Basta contar as latas    _
l       uma a uma.                _
l    Aluna fala:                 _
l    o Vai dar um trabalho.    _
l    Professor fala:             _
l    o No se preocupem: exis-  _
l       te uma tcnica menos      _
l       trabalhosa.               _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Vamos examinar, agora, o 4 e o 5 nmeros da seqncia a seguir.

<F->
             ]t#d      ]t#e
 #a ponto      o         o
 #b pontos    oo       oo
 #c pontos   ooo     ooo
 #d pontos  oooo   oooo
<F+>

  Veja: o 5 nmero triangular (T5)  igual ao 4 nmero triangular 
(T4) mais 5.

  Aluna fala:
  -- E o 6 nmero triangular  igual ao 5 nmero triangular mais 6.
  Professor fala:
  -- Isso mesmo. E  assim que se comporta a seqncia de nmeros 
triangulares.

1+2=3+3=6+4=10+5=15+6=21+7

  De modo geral, para achar um nmero triangular, basta adicionar os 
primeiros nmero inteiros.

<97>
Atividades
  9. Determine o valor numrico do 6 nmero triangular.

  10. Calcule:
  a) o stimo nmero triangular.
  b) o oitavo nmero triangular.

  11. Calcule a soma dos 10 primeiros nmeros inteiros.

  12. Faa a seguinte adio:
  1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

  13. Quantas latas h na pilha que ilustra a pgina anterior (livro 
em tinta)? (No vale contar.)

Nmeros quadrados `* nmero triangulares

  H uma relao muito interessante entre nmeros quadrados e 
triangulares. Observe:

  Nmeros triangulares
  1   3   6    10    15    21
    4   9   16    25    36
  Nmeros quadrados

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  -- A soma de dois nmeros triangulares consecutivos  um nmero 
quadrado.

      ooooooo
      ooooooo
]t#g ooooooo
      ooooooo
      ooooooo T6
      ooooooo
      ooooooo
  Q7=T7+T6
  Q7 :o 7 nmero quadrado
  T7 :o 7 nmero triangular
  T6 :o 6 nmero triangular

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<98>
Atividades
  14. Decomponha o 10 nmero quadrado em dois nmeros 
triangulares.

  15. Encontre dois nmeros triangulares cuja soma  igual a 121.

  16. Explique por que o nmero de pontos da figura seguinte  um 
quadrado perfeito.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Sugesto: Decomponha a fi-  _
l  gura em duas pilhas trian-      _
l  gulares.                        _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
        o
      ooo
    ooooo
  ooooooo
ooooooooo
<F+>

  17. Existe alguma nmero que seja ao mesmo tempo quadrado e 
triangular?
  Qual? Existe mais que um nmero satisfazendo essas condies?

<P>
Outras seqncias curiosas

  A seqncia a seguir  a dos _nmero _cbicos ou dos _cubos 
perfeitos.
  1, 8, 27, 64, ...
  1=1`*1`*1
  8=2`*2`*2
  27=3`*3`*3
  64=4`*4`*4

  -- Tais nmeros recebem esse nome devido  configurao espacial 
dos pontos que os representam.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*
  Figuras.  o
eieieieieieieie
<F+>

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<P>
  Esta outra seqncia  conhecida como seqncia de Fibonacci.  uma 
seqncia curiosa porque o valor de cada termo depende do valor de 
seus
dois antecedentes imediatos.
  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

<99>
Atividades
  18. Calcule os 10 primeiros cubos perfeitos.

  19. Determine o 15 termo da seqncia de cubos perfeitos.

  20. Descreva o funcionamento da seqncia de Fibonacci e calcule os 
seus 15 primeiros termos.

<P>
  21. Determine dois termos desconhecidos em cada uma das seqncias 
seguintes e explique o seu funcionamento, isto , qual  a regularidade que os 
termos da seqncia apresentam.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Observao: A seqncia do   _
l  item _j  finita de 12 ter-     _
l  mos. Verifique o que na nossa   _
l  cultura tem 12 elementos.       _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Idia: Cante a seqncia   _
l  do item _i em voz alta.        _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  a) (1, 4, 7, 10, 13, ?, ?, ...)
  b) (1, 6, 11, 16, 21, 26, ?,
 ?, ...)
  c) (1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, ?,
 ?, ...)
  d) (1, 2, 4, 8, 16, 32, ?, ?,
 ...)
  e) (4, 9, 14, 19, 24, 29, ?,
 ?, ...)
  f) (1.024, 512, 256, 128, 64,
 ?, ?, ...)
  g) (1.024, 1.020, 1.016, 1.012,
 1.008, ?, ?, ...)
  h) (7, 14, 21, 28, 35, ?, ?,
 ...)
  i) (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,
 ?, ?)
  j) (J, F, M, A, M, J, J, ?, ?,
 ..., ..., ...)

  22. Determine o valor dos 7 primeiros nmeros de uma seqncia que:
  a) comea no 4 e cada nmero que segue  igual ao anterior adicionado 
com 6.
  b) comea no 4 e cada nmero que segue  igual ao anterior 
adicionado com 9.
  c) comea no 3 e cada nmero que segue  igual ao anterior adicionado 
com 6.

  23. Invente duas seqncias diferentes uma da outra, comeando pelo 
100, de modo que:
  a) os nmeros diminuam
  b) os nmeros aumentem

  24. D o valor dos 7 primeiros nmeros da seqncia cujo primeiro 
termo  1 e cada nmero que segue  igual ao anterior multiplicado por:
  a) 2
  b) 3

<100>
Retomando
  1. Utilizando uma folha de papel quadriculado represente com pontos 
ou quadrinhos o 18 nmero quadrado.

  2. Qual a soma dos 35 primeiros nmeros mpares?

  3. Qual a diferena entre a soma dos 7 primeiros nmeros mpares e a 
soma dos 6 primeiros nmeros mpares?

  4. Qual a diferena entre a soma dos 8 primeiros nmeros mpares e a 
soma dos 7 primeiros nmeros mpares?

  5. Calcule a diferena entre 8`*8 e 7`*7.

  6. Calcule a diferena entre 12`*12 e 11`*11.

  7. Calcule a diferena entre a soma dos 40 primeiros nmeros mpares 
e a soma dos 39 primeiros nmeros mpares.

  8. Calcule a diferena entre 40`*40 e 39`*39.

  9. A diferena entre dois nmeros quadrados perfeitos consecutivos  
sempre par ou mpar?

  10.
  -- Eu sou Joo e construo pdios assim:

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figura: pdio com 6 cubos   o
  no primeiro andar, 5 cubos     o
  no segundo, 4 cubos no ter-    o
  ceiro, 3 cubos no quarto,      o
  2 cubos no quinto e 1 cubo    o
  no sexto.                       o
eieieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  -- Eu sou Maria e construo pdios assim:

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figura: pdio com 7 cubos   o
  no primeiro andar, 5 cubos     o
  no segundo, 3 cubos no ter-    o
  ceiro e 1 cubo no quarto.      o
eieieieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  Qual dos dois usa quantidades de blocos que representam nmeros 
triangulares?
  E qual usa nmeros quadrados?

<101>
<P>
  11. Adicione o 5 quadrado perfeito com o 12 quadrado perfeito. o 
que voc obteve? Este nmero tambm  um quadrado perfeito?

  12. H pares de nmeros quadrados perfeitos menores que 100 cuja 
soma tambm  um quadrado perfeito. descubra quais so esses nmeros.

  13. Quais entre os nmeros maiores que 120 e menores que 150 so 
quadrados perfeitos?

  14. Adicione dois nmeros triangulares consecutivos quaisquer. 
Verifique se o resultado  um nmero quadrado.

  15. Decomponha o 6 nmero quadrado em dois nmeros triangulares 
consecutivos.

<P>
  16. No supermercado do meu bairro o gerente organizou as latas de 
leo na forma de uma pilha triangular de 13 andares. Quantas latas tem essa 
pilha? Calcule antes e desenhe no caderno depois.

  17. Calcule o valor do 17 cubo perfeito.

  18. Construa a seqncia de nmeros que comea no 0 e na qual cada 
nmero que segue:
  a)  igual ao anterior adicionado com 3
  b)  igual ao anterior adicionado com 5

  19. Invente uma seqncia em que a diferena entre dois termos 
consecutivos  sempre a mesma.

  20. Invente duas seqncias diferentes em que o sucessor de um termo 
qualquer  o dobro de seu antecessor.

  21. Descubra qual  o maior quadrado perfeito de trs algarismos.

  22. Qual  o menor quadrado perfeito de quatro algarismos?

  23. Qual  o maior cubo perfeito de quatro algarismos?

  24. Qual  o primeiro ano do 3 milnio que  expresso por um cubo 
perfeito?

<102>
Revistinha

De frente para trs de trs para frente

  O que as palavras _ovo e _arara tm em comum?
  Se voc ler essas palavras de frente para trs ou de trs para a frente, 
d no mesmo.

<P>
<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Fotos: ovo quebrado e uma   o
  arara em um poleiro.           o
eieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  Palavras, nmero ou frases que tm essa caracterstica so chamados 
_palndromos.
  Estes so palndromos:

<F->
!:::::::::::.
l  121     _
l  484     _
l  666     _
l  2.002   _
l  12.321  _
l  74.247  _
h:::::::::::j
<F+>

  Entre os 30 primeiros quadrados perfeitos, trs so palndromos. Um 
deles  o 121. Descubra os outros dois.

<P>
  Um divertido passatempo  o de produzir frases palndromas.
  Leia de trs para a frente:
  {Socorram-me subi no nibus em Marrocos}

  Voc conhece algum cujo nome  um palndromo?

  Os palndromos acompanham a vida de Ada: ela tem palndromos no 
nome e na data de nascimento. Tente adivinhar o dia em que ela pode ter 
nascido. E quantos anos ela vai fazer no ano 2002?

  O trisav de Ada viveu muitos anos. Ele nasceu no sculo Xix e 
morreu no sculo Xx, no dia do seu aniversrio. Os anos de seu nascimento e 
falecimento so palndromos. Quantos anos ele viveu?

::::::::::o::::::::::